EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.

 G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR G+ GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Movimento e energia

De acordo com a teoria da relatividade especial de Einstein, a medida que um elétron se aproxima da velocidade da luz, do ponto de vista de um observador sua massa relativística aumenta, e por causa disso torna-se mais difícil acelerar a partir de dentro do plano do observador de referência. A velocidade do elétron pode se aproximar, mas nunca alcançar, a velocidade da luz no vácuo, c. Entretanto, quando elétrons relativísticos- isto é, elétrons se movendo a uma velocidade próxima de c-são injetados em um meio dielétrico tal como a água, onde a velocidade local da luz é significantemente menor que c, os elétrons temporariamente se movem mais rápido do que a luz no meio. A medida que interagem com o meio, eles geral uma luz fraca denominada radiação Cherenkov.^[129]

Fator de Lorentz em função da velocidade. Inicia com o valor 1 e tende ao infinito a medida que v se aproxima de c.

Os efeitos da relatividade especial são baseados em uma quantidade conhecida como fator de Lorentz definido como ${\displaystyle \scriptstyle \gamma =1/{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}$ onde ‘’v’’ é a velocidade da partícula. A energia cinética K_e de um elétron se movendo com velocidade v é:

${\displaystyle \displaystyle K_{\mathrm {e} }=(\gamma -1)m_{\mathrm {e} }c^{2},}$ / 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde m_e é a massa do elétron. Por exemplo, o Centro Acelerador Linear de Stanford pode acelerar um elétron a aproximadamente 51 GeV.^[130] Uma vez que um elétron se comporta como um onda, em uma dada velocidade tem a característica do comprimento de onda de Broglie. Isto é dado por λ_e = h/p onde h é a constante de Planck e p é o momento.^[52] Para o elétron de 51 GeV acima, o comprimento de onda é aproximadamente 2.4×10⁻¹⁷ m, que é pequeno o suficiente para explorar estruturas inferiores ao tamanho do núcleo atômico.^[131]

Na mecânica quântica, o caso de uma partícula em um anel unidimensional é semelhante à partícula em uma caixa^[1][2]. A equação de Schrödinger para uma partícula livre que é restrita a um anel^[3] (tecnicamente, cujo espaço de configuração é o círculo ${\displaystyle S^{1}}$) é

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Função de onda

Usando coordenadas polares no anel unidimensional de raio R, a função de onda depende somente da coordenada angular, e assim

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

exigindo que a função de onda seja periódica em ${\displaystyle \ \theta }$ com um período ${\displaystyle 2\pi }$ (da demanda de que as funções de onda sejam funções de valor único no círculo), e que elas sejam normalizadas leva às condições

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,Rd\theta =1\ }$, 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

e

${\displaystyle \ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )}$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Nestas condições, a solução da equação de Schrödinger é dada por

${\displaystyle \psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi R}}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }}$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Um problema importante na mecânica quântica é o de uma partícula num potencial esfericamente simétrico, isto é, um potencial que depende apenas da distância entre a partícula e um ponto central definido. Em particular, se a partícula em questão é um elétron e o potencial é derivado da lei de Coulomb, então o problema pode ser usado para descrever um átomo de hidrogênio (um elétron ou íon).

No caso geral, a dinâmica de uma partícula em um potencial esfericamente simétrico é governada por um hamiltoniano da seguinte forma:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V(r)}$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle m_{0}}$ é a massa da partícula, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ é o operador momentum, e o potencial ${\displaystyle V(r)}$ depende apenas de ${\displaystyle r}$, o módulo do vetor raio; r. As funções e energias da onda quântica (autovalores) são encontradas resolvendo a equação de Schrödinger com este hamiltoniano. Devido à simetria esférica do sistema, é natural usar coordenadas esféricas ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \phi }$. Quando isso é feito, a equação de Schrödinger independente do tempo para o sistema é separável, permitindo que os problemas angulares sejam tratados facilmente, e deixando uma equação diferencial ordinária em ${\displaystyle r}$ para determinar as energias para o potencial particular ${\displaystyle V(r)}$ em discussão.

Na mecânica quântica, a partícula em uma caixa (também conhecida como poço de potencial infinito) é um problema muito simples que consiste de uma só partícula que se localiza dentro de uma caixa imóvel da qual não pode escapar, e onde não perde energia ao colidir contra suas paredes.

Em mecânica clássica, a solução ao problema é trivial: a partícula se move em uma linha reta a uma velocidade constante até que rebate em uma das paredes. Ao rebater, a velocidade é alterada apenas na componente perpendicular à parede, que troca de sinal; o módulo da velocidade não se altera. Uma das soluções possíveis é uma partícula absolutamente estacionária, ou seja, com velocidade zero.

O problema se torna muito interessante quando se tenta resolver dentro da mecânica quântica, já que é necessário introduzir muitos dos conceitos importantes desta disciplina para encontrar uma solução. Entretanto, ainda assim é um problema simples com uma solução definida.

Descrição quântica do problema

O problema pode apresentar-se em qualquer número de dimensões, mas o mais simples é o problema unidimensional, ainda que o mais útil é o que se centra em uma caixa tridimensional. Em uma dimensão, se representa por uma partícula que existe em um segmento de uma linha, sendo as paredes os pontos finais do segmento.

Em termos da física, a partícula em uma caixa se define como uma partícula pontual, encerrada em uma caixa onde não experimenta nenhum tipo de força (ou seja, sua energia potencial é constante, ainda que sem perda de generalidade podemos considerar que vale zero). Nas paredes da caixa, o potencial aumenta até um valor infinito, fazendo-a impenetrável. Usando esta descrição em termos de potenciais nos permite usar a equação de Schrödinger para determinar uma solução.

Esquema do potencial para a caixa unidimensional.

Contudo, se a análise deste problema fosse sob as regras da mecânica clássica, deveríamos aplicar as leis do movimento de Newton às condições iniciais, e o resultado seria razoável e intuitivo; a probabilidade de se encontrar a partícula estaria diretamente relacionada ao tempo que a mesma percorre uma distância L. Com isso, infere-se que a probabilidade de se encontrar a partícula é igual em toda a caixa.

Já na mecânica quântica, quando se aplica a equação de Schrödinger, os resultados não são intuitivos. Em primeiro lugar, a partícula só pode ter certos níveis de energia específicos, e o nível zero não é um deles. Em segundo lugar, as probabilidades de detectar a partícula dentro da caixa em cada nível específico de energia não são uniformes - existem várias posições dentro da caixa onde a partícula pode ser encontrada, mas também há posições onde é impossível fazê-lo. Ambos resultados diferem da maneira usual na que percebemos o mundo, inclusive se estão fundamentados por princípios extensivamente verificados através de experimentos.

Postulados da mecânica quântica

Antes de se discutir sobre a partícula na caixa, é importante saber que para se resolver este problema, os conceitos e as aplicações dos postulados da mecânica quântica.

1º Postulado: a função de onda ${\displaystyle \Longrightarrow }$ A função de onda contém toda as informações para determinar o estado de um sistema. Por isso, ela tem que ser unívoca, contínua e de derivadas contínuas.

2º Postulado: operadores ${\displaystyle \Longrightarrow }$ Para toda e qualquer observável física há um operador linear e hermitiano.

• Teorema 1:os autovalores do operador hermitiano são reais.

• Teorema 2: as autofunções de um operador hermitiano são ortogonais.

3º Postulado: valores de observáveis ${\displaystyle \Longrightarrow }$ os valores possíveis a ser obtidos por medidas de uma propriedade física observável ${\displaystyle C}$, são os autovalores ${\displaystyle ci}$ da equação de autovalor ${\displaystyle {\widehat {C}}fi=cifi}$ , em que ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ é o operador que corresponde à propriedade observável ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle fi}$ são as autofunções do operador ${\displaystyle {\widehat {C}}}$.

4º Postulado: valor médio ${\displaystyle \Longrightarrow }$ Sendo ${\displaystyle \psi (x,t)}$ uma função de estado do sistema normalizada, logo o valor médio da observável ${\displaystyle C}$ no tempo é: ${\displaystyle \langle {\hat {C\rangle }}=\int \psi *{\widehat {C}}\psi dt}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

5º Postulado: evolução temporal ${\displaystyle \Longrightarrow }$ O estado de um sistema quântico não perturbado tem sua evolução temporal dada por: ${\displaystyle -{\cfrac {\hbar }{i}}{\cfrac {\partial \psi }{\partial t}}={\widehat {H}}\psi }$  / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Caixa unidimensional

A versão mais precisa se dá na situação idealizada de uma caixa unidimensional, na qual a partícula de massa m pode ocupar qualquer posição no intervalo [0,L]. Para encontrar os possíveis estados estacionários, é necessário aplicar a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão para o problema:

${\displaystyle -{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=E\psi (x)}$ [1] 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Considerando que o potencial infinito fora da caixa (regiões I e III), o que anula a função de onda, tem-se:

${\displaystyle \psi (x)={\cfrac {1}{\infty -E}}{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}}$  / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle \psi I=\psi III=0}$

em que

${\displaystyle \hbar }$ é a Constante reduzida de Planck,

${\displaystyle m\,}$ é a massa da partícula,

${\displaystyle \psi \left(x\right)\,}$ é a função de onda estacionária independente do tempo^[1] que queremos obter (funções próprias) e

${\displaystyle E\,}$ é a energia da partícula (valor próprio).

Para o interior da caixa, região II, em que o potencial é zero, tem-se:

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi =0}$  / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Visando garantir o primeiro postulado da mecânica quântica, a função de onda, quando ${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=L}$, tem que ser igual a ${\displaystyle 0}$. Obedecendo às seguintes condições de contorno:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\psi I=\lim _{x\to 0}\psi II}$  / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle \lim _{x\to L}\psi II=\lim _{x\to L}\psi III}$  / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

As funções próprias e valores próprios de uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional de comprimento L são:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)},\qquad E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}n^{2},\qquad {\mbox{com}}\ n=1,2,3,...}$

Níveis de energia (linhas discontínuas) e funções de onda (linhas contínuas) da partícula em uma caixa monodimensional.

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

A densidade de probabilidade (${\displaystyle \psi ^{2}}$) de se encontrar a partícula na caixa difere de acordo com seu estado de energia. A figura ao lado mostra a função de onda da partícula na caixa para cada estado de energia. Elevando essa função ao quadrado, pode-se estimar onde se tem a maior chance de localizar a partícula. Por exemplo: elevando a função de onda de ${\displaystyle n=1}$, a chance de se achar a partícula no centro da caixa é grande, mas, conforme for indo para as extremidades da caixa, essa chance diminui até ser nula. Já para ${\displaystyle n=2}$ , a chance de se encontrar a caixa tanto no centro quanto nas extremidades é nula. A parte negativa da função fica positiva, já que se eleva ao quadrado, e com isso, aparece duas regiões com a mesma densidade de probabilidade. E assim por diante de tal forma que o número quântico ${\displaystyle n}$ aumenta tanto que o comportamento quântico da partícula começa a reproduzir o comportamento clássico, de acordo com o princípio da correspondência.

Nota-se que só são possíveis os níveis de energia quantizados. Além disso, como n não pode ser zero (pois isso implicaria em uma descontinuidade da função e, assim, violando o 1º postulado), o menor valor da energia tampouco pode sê-lo. Essa energia mínima se chama energia do ponto zero e se justifica em termos do princípio de incerteza. Devido à restrição da partícula em mover-se em uma região finita, a variância da posição tem um limite superior (o comprimento da caixa, ${\displaystyle L}$). Assim, de acordo com o princípio de incerteza, a variância do momento da partícula não pode ser zero e, portanto, a partícula deve ter uma certa quantidade de energia que aumenta quando a longitude da caixa L diminui.

Na física, uma partícula livre é uma partícula que, em certo sentido, não está vinculada por uma força externa, ou equivalentemente não está em uma região onde sua energia potencial varia. Na física clássica, isso significa que a partícula está presente em um espaço "sem campo". Na mecânica quântica, significa uma região de potencial uniforme, geralmente modulada para zero na região de interesse, uma vez que o potencial pode ser arbitrariamente arranjado para zero em qualquer ponto (ou superfície em três dimensões) no espaço.

Descrição matemática

Partícula livre clássica

A partícula livre clássica é caracterizada simplesmente por uma velocidade fixa v. O momento linear é dado por

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

e a energia cinética, que é igual à energia total, é dada por

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde m é a massa da partícula e v é o vetor velocidade da partícula.

Partícula livre quântica

Uma partícula livre na mecânica quântica (não relativística) é descrita pela equação de Schrödinger livre:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ψ é a função de onda da partícula na posição r e tempo t. A solução para uma partícula com momento p ou vetor de onda k, na freqüência angular ω ou energia E, é dada pela onda plana complexa:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

com amplitude A. Como para todas as partículas quânticas livres ou ligadas, o princípio da incerteza de Heisenberg

${\displaystyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq \hbar }$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

(da mesma forma para as direções y e z) e as relações De Broglie:^[1]:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,\quad E=\hbar \omega }$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

se aplicam. Como a energia potencial é adotada como zero, a energia total E é igual à energia cinética, que tem a mesma forma da física clássica:

${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$ 

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Há várias equações que descrevem partículas relativísticas: veja equações de onda relativísticas.^[2][3][4][5]